Es geht nicht um die Zustellung, sondern um den Inhalt des Schreibens. Wenn Du keine (mit richtigem Datum versehene) Kopie vorweisen kannst, reicht dem Gegner uU ein "in dem erhaltenen Schreiben stand aber keine Frist" aus.
Aus der Praxis: Gegner legt (im Termin) einen Ausdruck eines Schreibens vor. Das Datum wird in seinem Brieftemplet automatisch per Datumsfeld eingefügt. Das Datum in dem vorgelegten Schreiben war vom Tage des Ausdrucks und widersprach so dem eigenen Vortrag, das Schreiben wäre an Tag X raus gegangen. Der Klassiker ist auch der kopierte aber (noch) nicht-unterschriebene oder gegengezeichnete Überweisungsträger.
Mit dem Gang zum Anwalt hat man mind. eine Sorge weniger. Man muss keine Gedanken an die Formulierung verlieren, spart sich den Gang zur Post, die Aufbewahrung der Quittung, Zuziehung möglicher Zeugen etc. -und das für eine popelige 0,3 Gebühr (wenn es bei dem Schreiben bleibt).